下面介紹一些坐標系歐氏變換的基礎(chǔ)數(shù)學。
在進行激光雷達的外參標定時，我們實際上是求解激光雷達坐標系相對車體坐標系的姿態(tài)和相對位置；在進行車輛定位時，我們通常是在求解車體坐標系的相對變化量及其相對世界參考坐標系的變化量
。這兩個坐標系之間的位置和姿態(tài)變化構(gòu)成了歐氏變換。其中，姿態(tài)描述的是一個坐標系的軸系相對另一個坐標系軸系的旋轉(zhuǎn)或方向關(guān)系，相對位置描述的是一個坐標系的原點相對另一個坐標系原點的平移關(guān)系。
1.1、旋轉(zhuǎn)和平移變換
首先考慮兩坐標系間具有共同原點且僅有相對旋轉(zhuǎn)的情況。則點P的坐標系1和坐標系2下的三維向量可分別表示為
=
=
結(jié)合假設(shè)兩坐標系的單位正交基分別為；
。以及坐標系2在坐標系1下單位正交基的投影關(guān)系最終可得
=
其中旋轉(zhuǎn)矩陣=
我們可以進一步分析得到旋轉(zhuǎn)矩陣是行列式為1的正交陣，因此旋轉(zhuǎn)矩陣R與其轉(zhuǎn)置矩陣的相乘結(jié)果為單位陣E，所以
,所以
再進一步可以看出物體相對于坐標軸的旋轉(zhuǎn)和坐標軸相對于物體的等角度反向旋轉(zhuǎn)在描述上是等效的。
齊次矩陣則是考慮了兩坐標系間同時具有旋轉(zhuǎn)和平移的情況。最終可得。
1.2、旋轉(zhuǎn)的歐拉角表示
在使用旋轉(zhuǎn)矩陣R表示三維空間中的旋轉(zhuǎn)和姿態(tài)時，共需要9個變量來表示，而對應的旋轉(zhuǎn)本身則通常只有3個自由度。這種表達明顯帶來參數(shù)冗余，使得求解復雜。所以采用歐拉角姿態(tài)表示。
根據(jù)旋轉(zhuǎn)軸順序的不同，歐拉角有多種形式。以RPY為例，繞X軸旋轉(zhuǎn)角稱為翻滾角R，繞Y軸旋轉(zhuǎn)角稱為俯仰角P，繞Z軸旋轉(zhuǎn)角稱為Y。歐拉角描述的空間旋轉(zhuǎn)與其轉(zhuǎn)動順序強相關(guān)，且歐拉角的三個分量不具有互換性，在求解RPY的逆變換時，不能僅對角度取負實現(xiàn)，而應該按照相反的旋轉(zhuǎn)順序反轉(zhuǎn)相應的角度。當俯仰角pitch=時，歐拉角描述的旋轉(zhuǎn)存在奇異性，此時滾動角和領(lǐng)航角無法區(qū)分，其描述的旋轉(zhuǎn)會出現(xiàn)退化現(xiàn)象，稱為歐拉角的萬向鎖現(xiàn)象。所以在優(yōu)化和濾波等迭代算法中通常不使用歐拉角表示較大的旋轉(zhuǎn)變換。
1.3、旋轉(zhuǎn)的軸角表示/旋轉(zhuǎn)向量表示
旋轉(zhuǎn)向量到旋轉(zhuǎn)矩陣的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下：
1.4、旋轉(zhuǎn)的單位四元數(shù)表示
四元數(shù)是將二維空間中的復數(shù)擴展至三維空間中得到的超復數(shù)：
i,j,k為虛數(shù)單位，分別對應坐標系的三個軸，并滿足
采用矢量形式表示為
2.1 李群、李代數(shù)
為簡化位姿估計相關(guān)的求解過程，引入李群和李代數(shù)。
群通常表示為由有限或無限個元素構(gòu)成的集合加上一種運算的代數(shù)結(jié)構(gòu)。具有群結(jié)構(gòu)的光滑微分流形為李群，即若G為一個群，同時它又是D維空間的一個流形，并且其群乘積和取逆操作都是平滑函數(shù)，則G為一個李群。李代數(shù)是一個由集合V，數(shù)域F和一個李括號運算組成的代數(shù)結(jié)構(gòu)，用于表示被賦予李括號運算的線性空間。在三維空間
中，向量的叉乘運算即為該空間的李括號運算，所以李代數(shù)實際上是李群在其幺元處的切空間，它能夠完全捕獲李群的局部結(jié)構(gòu)，并且李群M，李代數(shù)m可表示為
。之后可通過李群和李代數(shù)的映射關(guān)系將流形空間中待求解的問題表示成對應的線性空間的李代數(shù)結(jié)構(gòu)，從而使得利用線性空間中的模型和算法成為可能。
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